摂動論によるHe原子のエネルギー その１

ヘリウム・プロジェクト、最初のお題は「摂動論を用いてヘリウム原子のエネルギーを求める」です。

まずは摂動論の復習から。


時間に依存しない摂動論

次のように、ハミルトニアン とその固有状態 を考えます。



ここで摂動ハミルトニアン が小さいとして、波動関数とそのエネルギー固有値を で展開してみます。




ここで式(2),(3)を式(1)へ代入しての字数で整理すると次のような関係式を得ることができます。

０次



1次


0次の式(4)は、無摂動ハミルトニアンの固有状態が０次の波動関数のを与えていることがわかります。式(5)に無摂動ハミルトニアンの固有状態（の複素共役を左からかけて空間で積分してやると、１次の摂動のエネルギーを得ることができます。


となります。ただし、ここでは波導関数が規格化されているとしています。結局、１次までの摂動のエネルギーは、0次の波動関数で 無摂動と摂動ハミルトニアンの期待値を計算して足したものになることがわかります。

ただし、ここでは最後にと置きました。

Helium project 発足！

研究以外でも、趣味で物理学をやろうと思い、何が出来るかを考えていました。
そこで、思いついたのがヘリウム・プロジェクト(Helium-project)。

ヘリウム・プロジェクトでは、いろいろな原子・分子の性質を理論的手法で調べていきます。

学部の授業では、水素原子のシュレーディンガー方程式を解くと思いますが、それ以外の原子は、多体問題となるため、解析的に波動関数を求めることができません。このため、原子や分子の性質を調べるために様々な手法が考案されてきました。

ヘリウム・プロジェクトでは、そんな手法を勉強しながら、実際に原子や分子に適用して、その性質を調べていきます。
時には手計算、時には数値計算を駆使して、原子の性質を明らかにしていきます！

興味のある方は、 タグのHelium-probect を時々、覗いてみてください。
また、アドバイスなどをコメントしてもらえるとありがたいです！

乞うご期待！